Sugestão de presente

Um brinquedo que eu ganhei e que gosto muito é esse quebra-cabeça chamado Cilada. Não é tão simples quanto pode parecer.

Balança

O objetivo é descobrir quantos cubinhos se acrescenta para equilibrar a balança.

Os truques matemáticos dos sobrinhos do Pato Donald

Artigo do professor Luiz Barco, em que fala sobre o truque matemático do conjunto de cartelas cheias de números, cujo autor "adivinha" o número escolhido pelo adversário.


Por Luiz Barco

Nunca pensei que um dia me coubesse tarefa tão gostosa. Escrever um artigo destinado aos meus amigos de infância, não aos amigos comuns, mas especialmente àqueles que não tiveram a enfadonha necessidade de crescer, pois puderam continuar crianças como Peter Pan. Surprendi-os brincando com meus filhos e estavam do jeito que os conheci. Eu mesmo, já adulto, fiz um ar sério, mas com a desculpa de atender os meus filhos, brinquei com eles algumas vezes. São os sobrinhos do Pato Donald: Huguinho, Zezinho e Luisinho.

Recentemente, reencontrei o trio ao conversar com um velho amigo. Ele me contou ter visto no manual dos escoteiros mirins, estrelado pelos três patinhos, um conjunto de carteias cheias de números com uma curiosa propriedade matemática. Uma pessoa escolhe mentalmente um número contido nas cartelas sem o revelar ao parceiro. Em seguida, entrega-lhe todas as carteias em que o dito número aparece e desafia-o a descobrir o número escolhido.

Meu amigo recordava vagamente que basta somar determinados números das carteias escolhidas para descobrir o número pensado pelo outro. Ele queria saber se eu conseguiria refazer as cartelas. Antes que eu esboçasse qualquer resposta, ele acrescentou: "É que meu filho deve apresentar uma curiosidade matemática na feira de ciências do colégio onde estuda e eu não estou achando o manual".

Tratava-se de mais uma entre as inúmeras aplicações da binarização, ou seja, do sistema binário, de base 2. Como se trata de um sistema binário, temos de ter em mente as potências de 2. Assim, o 1 é o 2° (dois à potência zero), o 2 é o 2¹ (dois elevado ao expoente 1), o 4 é o 2², o oito, é 2³, etc. Vamos ficar por aqui e trabalhar com os números 1,2,4 e 8, escrevendo com eles todos os números inteiros que podem ser construídos como a soma de todos ou de alguns desses números que vão dar nome às cartelas:

• 1 é da carteia do próprio 1 e somente dela; • 2 é da carteia do próprio 2 e

somente dela; • 3 = 1 + 2, logo, deve aparecer na carteia do 1 e do 2; • 4 é da carteia do próprio 4 e somente dela; • 5 = 1 + 4, logo, deve aparecer nas carteias do 1 e do 4; e assim por diante, cada número pode ser escrito como uma simples soma de potências crescentes do 2, e deve aparecer em todas as cartelas das parcelas que entram na adição geradora do próprio número. Logo, o 6 aparece nas cartelas do 2 e do 4, pois • 6 = 2 + 4; • 7 = 1 + 2 + 4, logo, deve aparecer nas carteias de 1, 2 e 4; • 8 é potência de 2 e será conseqüentemente nome de carteia; • 9 = 1 + 8 e assim aparecerá nas carteias 1,8 etc.

Assim como com os número 1, 2, 4 e 8 podemos por simples adição chegar até 15, vamos listar os números nas cartelas:
cartela 1 1,3,5,7,9,11,13 e 15
cartela 2 2,3,6,7,10,11,14 e 15
cartela 4 4,5,6,7,12,13,14 e 15
cartela 8 8,9,10,11,12,13,14 e 15

Cada cartela terá em nosso primeiro exemplo oito números e vamos construí-las como uma tabela de duas linhas por quatro colunas, cuidando de no quadradinho superior à direita colocar a potência de 2 que lhe dá o nome. Podemos fazer em cartolina e recortar.

Pronto o brinquedo, você agora escolhe um número de 1 a 15 e não conta ao parceiro qual é; dá-lhe a carteia ou carteias onde o número escolhido aparece. Para adivinhar o número, o parceiro deve somar as potências de 2 que aparecem no canto superior direito das cartelas recebidas. Ficará mais interessante se tomarmos as potências 1, 2, 4, 8, 16 e 32.

Com elas podemos escrever de 1 até 63 e assim construir seis cartelas, cada uma com 32 números (4 linhas por 8 colunas), e desta forma começar uma nova carreira: a de adivinho. Se essa brincadeira estiver mesmo no manual dos escoteiros mirins, os patinhos que me perdoem ter revelado seu pequeno truque.

Jogar Ouri

O Ouri é um jogo pertencente à família dos jogos de contagem e captura. Pensado para duas pessoas é jogado num tabuleiro de 12 casas e com 48 pedras ou sementes. Pelas primeiras jogadas parece ser um jogo muito fácil, mas depressa percebemos que é um grande desafio! Tudo sobre o jogo em:
ouri.ccems.pt

Jogo on line
ouri.ccems.pt/jogo/Ouri2.htm

Números de Sam Loyd

Você vê que a matriz apresenta números 1/15 em ordem crescente, linha por linha. Dê um clique na matriz e eles serão desorganizados... 1. Nível Fácil Após embaralhar, tente colocá-los na ordem inicial: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. Nível Pesadelo Caso você queira ir direto para esta opção: embaralhe e tente colocar na seguinte ordem: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14 Durante muito tempo a criação deste problema foi atribuída a Sam Loyd (1841-1911), um americano charadista que, no final dos anos de 1870 propôs (com o nome 'Fifteen Puzzle') este enigma. De fato, foi proposto por ele, mas este desafio já existia (..) Enfim! Uma revista chegou a oferecer um prêmio de US$ 1.000,00 (imagine quanto não seria hoje esta quantia!?) para quem colocasse os números na seguinte ordem acima. Virou mania no mundo inteiro e até hoje NINGUÉM CONSEGUIU com essa segunda opção!! Você consegue? O desafio conseguirá ser resolvido no século XXI? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Passe de A para B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14 A B
Jogar on line

Hex

Aborrecem-te os jogos de tabuleiro? A ser assim, talvez convenha dares uma "vista d'olhos" a um jogo chamado HEX. É tão emocionante como os melhores jogos de computador e como exercício mental é muito superior.

O HEX joga-se num tabuleiro com a forma de losango composto por "casas" hexagonais como se mostra na figura seguinte.

O tabuleiro habitualmente utilizado tem dimensões 11 por 11 mas podem ser utilizados tabuleiros de menores ou maiores dimensões. Cada um dos jogadores possui dois lados opostos do tabuleiro.

Cada jogador tem um determinado número de fichas ( normalmente cada jogador tem 50 fichas), um deles jogará com as azuis e o outro com as vermelhas.

As regras são de uma simplicidade impressionante. Para determinar quem joga em primeiro lugar pode-se recorrer ao lançamento de uma moeda. Depois, os jogadores, alternadamente, vão colocando as suas fichas nas "casas" livres do tabuleiro. Ganha aquele que primeiro conseguir formar um caminho de fichas próprias que una os seus dois lados opostos, isto é, um caminho vermelho que una as duas margens vermelhas ou, um caminho azul que una as duas margens azuis. Aparentemente é fácil, no entanto, como em muitas outras situações, as aparências iludem.

O HEX é um jogo de profunda subtileza. Inventado por PIET HEIN, matemático, físico e poeta dinamarquês, o jogo apareceu pela primeira vez no jornal diário "Polytiken" de 26 de Dezembro de 1942, com o nome de "Polígono".

Durante a década de 50 do século passado, o jogo HEX converteu-se numa espécie de loucura em muitos departamentos de Matemática um pouco por todo o mundo. O número de jogadas é finito ( um máximo de 121 jogadas num tabuleiro 11 por 11); um caminho contínuo que vá de um lado ao lado oposto impede o adversário de ganhar. No Hex haverá sempre um vencedor, o jogo nunca termina em empate. Também se pode demonstrar que, se jogasse de forma óptima, o primeiro jogador ganharia sempre.

À primeira vista, o facto do primeiro jogador dever ganhar sempre, retira qualquer interesse ao jogo mas, o problema reside em descobrir a estratégia que o conduzirá à vitória. Sabe-se que o primeiro jogador deverá ganhar sempre mas não se sabe como conseguir a vitória. No filme " Uma Mente Brilhante " John Nash fica muito desapontado quando perde uma partida de um jogo chamado GO, que tinha iniciado e na qual ele pensava estar a seguir a estratégia correcta, o que lhe deveria garantir a vitória.

O tabuleiro 7 por 7 é maior tabuleiro para o qual se conhece a estratégia que dá a vitória ao primeiro jogador. Num tabuleiro maior o primeiro jogador sabe que, em teoria, deveria ganhar, mas não sabe como.

Para contrariar a vantagem (pelo menos teórica) do primeiro jogador, há quem admita uma regra opcional: quando efectua o movimento de abertura, o segundo jogador pode optar por trocar a ficha do adversário por uma das suas em vez de ocupar uma das "casas" vazias. Assim, ao efectuar a abertura do jogo o primeiro jogador terá que considerar a hipótese da sua peça ser substituída por uma do adversário. Terá que avaliar se deve colocar a sua primeira peça na posição que considera óptima correndo o risco de a ver substituída, ou se deve optar por colocar a sua primeira peça noutra posição menos vantajosa vendo o adversário ocupar a melhor posição mas ficando com a sua peça no tabuleiro.

Pontes - Estratégia básica para a vitória

As estratégias para aumentar a probabilidade de vencer no jogo HEX foram objecto de vários estudos, ocupando vários livros. Aqui deixarei apenas uma das mais básicas: as pontes.

No HEX não é necessário que uma determinada "casa" para que esta tenha um papel estratégico.

Na Figura A, vemos uma ponte em que duas "casas" não adjacentes ocupadas por fichas azuis estão separadas por duas "casas" intermédias (a tracejado azul). Enquanto as duas "casas" tracejadas não forem ocupadas por fichas vermelhas podemos considerar que as duas casas com fichas azuis encontram-se ligadas, uma vez que, se as vermelhas ocuparem uma das casas tracejadas, as azuis podem, na jogada seguinte, ocupar a outra, efectivando dessa forma a união.

Os jogadores de HEX tentam com frequência construir várias pontes ao longo do tabuleiro. No entanto, as pontes não são invencíveis. Uma ponte azul pode ser vencida se as vermelhas conseguirem ocupar uma das "casas" intermédias ao mesmo tempo que ameaçam o adversário com uma jogada que lhes dará a vitória noutro lugar. Isto não é muito fácil de conseguir portanto, o melhor é impedir que o adversário construa demasiadas pontes.

Na figura B são as azuis a jogar. Obviamente terão que ocupar a "casa" p porque, caso contrário as vermelhas ganham facilmente. No entanto, as vermelhas responderão jogando na casa q, continuando esta estratégia formar-se-ão dois caminhos paralelos, um azul e outro vermelho que acabará com a vitória das vermelhas.


Jogar on line
www.mazeworks.com/hex7/index.htm