Júri de tribunal australiano é flagrado jogando sudoku

Acusados perceberam distração de jurados e julgamento foi suspenso.

O julgamento de dois acusados de planejar a fabricação de anfetaminas para revenda na Austrália teve que ser suspenso depois que se descobriu que parte do júri passou a maior parte do tempo jogando o quebra-cabeça numérico sudoku.

O juiz Peter Zahra suspendeu o julgamento em Sydney depois que uma das integrantes do júri admitiu que ela e outros cinco integrantes estavam jogando sudoku para combater o tédio.

O julgamento contava com 105 testemunhas e já durava três meses. Os custos do processo já estavam girando em torno de 1 milhão de dólares australianos (cerca de R$ 1,5 milhão), e os dois acusados podem ser condenados à prisão perpétua.

A promotoria e a defesa fariam suas considerações finais ainda nesta semana. Mas, na semana passada, um dos acusados prestava seu depoimento quando viu a porta-voz do júri fazendo o que ele pensou ser um jogo de sudoku, segundo o jornal australiano Sydney Morning Herald.

O outro acusado alegou ter visto o mesmo, e os advogados de defesa, Adam Morison e Michael Coroneos, fizeram um pedido conjunto para a suspensão.

"Mente ocupada"

A porta-voz do júri confirmou em depoimento ao juiz Zahra as suspeitas dos acusados. Segundo ela, quatro ou cinco jurados trouxeram as folhas com o jogo, tiraram cópias para jogar durante o julgamento e comparar os resultados na pausa para as refeições.

Ela admitiu que passou mais da metade do tempo do julgamento jogando sudoku. Outra jurada afirmou que apelou para o quebra-cabeça numérico para manter a "mente ocupada".

"É difícil manter minha atenção o tempo todo, e isso (sudoku) não me distrai muito do julgamento", disse uma das juradas à agência de notícias australiana Australian Associated Press.

"Notei que eles estavam escrevendo em direções diferentes e logo pensei: 'eles não estão fazendo anotações'", disse Robin Hakelis, uma das advogadas de defesa.

Adam Morison, outro advogado de defesa, disse ao Sydney Morning Herald que é "extraordinário que 105 testemunhas, 20 delas policiais, deram seus depoimentos e não viram o que estava acontecendo".

Não existe uma punição legal para os integrantes do júri flagrados jogando sudoku. Um novo julgamento deve começar nas próximas semanas, assim que um novo júri for convocado.

http://g1.globo.com/Noticias/Mundo/0,,MUL597559-5602,00-JURI+DE+TRIBUNAL+AUSTRALIANO+E+FLAGRADO+JOGANDO+SUDOKU.html

Bendita aplicação

Me desculpem os engenheiros, mas todo matemático odeia a perguntinha "Pra que que serve isso?"
A aplicação da matemática fui uma consequência do seu estudo. Não aprendemos a matemática apenas para utiliza-la na prática mas para abrir os horizontes da mente.
Paltão em sua obra A República: "deveríamos nos esforçar para persuadir aqueles designados como principais de nosso Estado a estudarem matemática, não como amadores, mas para poderem ver a natureza dos números com a mente apenas e não como mercadores e caxeiros viajantes, que os utiliza de forma prática como meras ferramentas para comprar e vender. Ao contrário, deveriam ser apreendidos para fins de uso militar, e para própria alma, afim de atingir mais facilmente os estados superiores da verdade e do ser... E já percebeste que os que têm talento natural para a matemática são geralmente mais aptos a quaisquer outros tipos de conhecimento? E mesmo os de raciocínio mais lento muito ganham em rapidez de pensamento ao estudarem matemática, mesmo não atentando para nenhuma outra vantagem deste estudo?"

Bug do cérebro...

1º TESTE:
Foi descoberto que o nosso cérebro tem um Bug. Aqui vai um pequeno
exercício de calculo mental !!!! Este cálculo deve fazer-se.mentalmente (e rapidamente), sem utilizar calculadora nem papel e caneta!!!
Seja honesto... faça cálculos mentais...

Tens 1000, acrescenta-lhe 40. Acrescenta mais 1000. Acrescenta mais
30
e
novamente 1000. Acrescenta 20. Acrescenta 1000 e ainda 10.
Qual e o total? (resposta abaixo)

O teu resultado é 5000 ?

A resposta certa e 4100 !!!!
Se não acreditar, verifique com a calculadora. O que acontece é que
a seqüência decimal confunde o nosso cérebro, que salta naturalmente para a mais alta decimal (centenas em vez de dezenas).

2º TESTE:

TESTE: rápido e impressionante: conte, quantas letras "F" tem no
texto abaixo sem usar o mouse:

FINISHED FILES ARE THE RE-

SULT OF YEARS OF SCIENTIF-

IC STUDY COMBINED WITH

THE EXPERIENCE OF YEARS

Contou?
Somente leia abaixo após ter contado os "F".
OK?

Quantos??? 3??? Talvez 4???

Errado, são 6 (seis) - não é piada!
Volte para cima e leia mais uma vez!
A explicação está mais abaixo ...

O cérebro não consegue processar a palavra "OF".
Loucura, não?
Quem conta todos os 6 "F" na primeira vez é um "gênio", 3 é normal,
4 é mais raro, 5 mais ainda, e 6 quase ninguém.

3º TESTE:
Sou Diferente? Faça o Teste

Alguma vez já se perguntaram se somos mesmo diferentes ou se
pensamos a mesma coisa? Façam este exercício de reflexão e encontrem a resposta!!!
Siga as instruções e responda as perguntas uma de cada vez,
MENTALMENTE
e
tão rápido quanto possível mas não siga adiante até ter respondido a
anterior.
E se surpreendam com a resposta!!!
Agora, responda uma de cada vez:
Quanto é:
15+6
...
3+56
...
89+2
...
12+53
...
75+26
...
25+52
...
63+32
...
Sim, os cálculos mentais são difíceis mas agora vem o verdadeiro
teste.
Seja persistente e siga adiante.
123+5
...
RÁPIDO! PENSE EM UMA FERRAMENTA E UMA COR!
...

E siga adiante...

...

Mais um pouco...
...

Um pouco mais...

.
Pensou em um martelo vermelho, não e verdade??? Se não, você é parte
de 2 %
da população que e suficientemente diferente para pensar em outra
coisa.
98% da população responde martelo vermelho quando resolve este
exercício.
Seja qual for a explicação para isso, mandem p ara seus amigos para
que
vejam se são normais ou não!!!

Semáforo

O jogo envolve dois jogadores que vão fazendo uma jogada de cada vez. É jogado num tabuleiro com 4 colunas e 3 linhas. Cada jogada pode ser feita de três maneiras:

• Coloca uma peça verde num quadrado vazio;
• Substitui uma peça verde por uma peça amarela;
• Substitui uma peça amarela por uma peça vermelha
Ganha o primeiro jogador que conseguir fazer um três em linha da mesma cor na vertical, horizontal ou diagonal.
duração: 45min. (aproximadamente)
público-alvo: a partir dos 8 anos
grupos: 2 participantes
Material
Oito peças verdes, oito amarelas e oito vermelhas partilhadas pelos jogadores.

Fonte: http://ludicum.org/games/abstr/sem/28janh10.pdf

Xadrez para jogar a três…

Entre nestes sites
http://cybervida.com.br/xadrez-para-jogar-a-tres

http://en.wikipedia.org/wiki/Three-handed_chess#Hexagonal_board

Ilusões de Óptica

Você tem 1 minuto para achar um homem ai!

Homens ou colunas?


Impressionante. Tudo parece girar.

As bolinhas centrais, cercadas por outras, têm o mesmo diâmetro?

Se você fixar os olhos no ponto central e se concentrar - ao afastar e aproximar a cabeça terá a impressão de que os discos giram.
Triângulo impossível
Triângulo impossível

Esta é a garrafa de Klein. Ele tem interior?


Parece que há uma espiral na figura. Mas não é, são apenas circunferências concentricas.

Parecem que pontos cinza piscam. Você olha para eles e eles somem.

AB é menor que BC?

Conte as cores. São 4? Não seriam 3?

As linhas são paralelas?

Escher o gênio da arte matemática

Com a ajuda da geometria, nada é o que aparenta ser no trabalho surpreendente do artista holandês

Por Cláudio Fragata Lopes

Você já deve ter visto pelo menos uma das gravuras do artista gráfico holandês M. C. Escher. Elas já foram reproduzidas não só em dezenas de livros de arte, mas também na forma de pôsteres, postais, jogos, CD-ROMs, camisetas e até gravatas. Caso não se lembre, então você não viu nenhuma. Olhar para as intrigantes imagens criadas por Escher é uma experiência inesquecível. Tudo o que nelas está representado nunca é exatamente o que parece ser. Há sempre uma surpresa visual à espera do espectador. Isso porque, para ele, o desenho era pura ilusão. A realidade pouco interessava. Antes, preferia o contrário: criar mundos impossíveis que apenas parecessem reais. Eis porque acabou se tornando uma espécie de mágico das artes gráficas.

Seus desenhos, porém, não nasciam de passes de mágica, nem somente de sua apurada técnica de gravador. Sua obra está apoiada em conceitos matemáticos, extraídos especialmente do campo da geometria. Essa era a fonte de seus efeitos surpreendentes. Foi com base nesses princípios que Escher subverteu a noção da perspectiva clássica para obter suas figuras impossíveis de existir no espaço "real". Aliás, desde o começo, fascinou-o essa condição essencial do desenho, que é a representação tridimensional dos objetos na inevitável bidimensionalidade do papel. Brincou com isso o mais que pôde. Também há matemática na divisão regular da superfície usada por Escher para criar suas famosas séries de metamorfoses, onde formas geométricas abstratas ganham vida e vão, aos poucos, se transformando em aves, peixes, répteis e até seres humanos.

Foi essa proximidade com a ciência que deixou os críticos de arte da época de cabelo em pé. Afinal, como classificar o trabalho de Escher? Era "artístico" o que ele fazia ou puramente "racional"? Na dúvida, preferiram silenciar sobre sua obra durante vários anos. Enquanto isso, o artista foi ganhando a admiração de matemáticos, físicos, cristalógrafos e eruditos em geral. Mas essa é outra faceta surpreendente de Escher. Embora seus trabalhos tivessem forte conteúdo matemático, ele era leigo no assunto. A bem da verdade, Escher sequer foi um bom aluno. Ele mesmo admitiu mais tarde que jamais ganhou, ao menos, um "regular" em matemática. Conta-se até que H.M.S. Coxeter, um dos papas da geometria moderna, entusiasmado com os desenhos do artista, convidou-o a participar de uma de suas aulas. Vexame total. Para decepção do catedrático, Escher não sabia do que ele estava falando, mesmo quando discorria sobre teorias que o artista aplicava intuitivamente em suas gravuras.

A vida e a obra de Escher sofreram uma reviravolta depois da visita que o artista fez ao palácio mourisco de Alhambra, em Granada, construído pelos árabes no século 13, durante a ocupação da Espanha. Esteve ali por duas vezes, a primeira, em 1926, a segunda, dez anos depois. Copiando obsessivamente os ornamentos decorativos das paredes do palácio, o holandês descobriu os segredos da divisão regular do plano. Escher podia não saber nada de matemática, mas os árabes, sim. Um conhecimento, aliás, milenar. Usando polígonos regulares e congruentes, como triângulos, quadrados e hexágonos, eles criaram mosaicos de rara beleza, preenchendo as superfícies sempre sem sobreposição e sem deixar espaços ou lacunas entre as figuras.

Isometria decorativa
Ao copiá-los, Escher acabou descobrindo os movimentos empregados para que o ornamento cubra-se a si mesmo: a translação, a rotação, a reflexão e a translação refletida, transformações que os matemáticos chamam hoje de isometrias, pois têm a propriedade de preservar a distância entre pontos (leia quadro). Alguns padrões permitem apenas um desses movimentos como simetria, outros, uma combinação de dois ou mais deles. Existem, ao todo, 17 grupos diferentes de combinações isométricas, que deixam um determinado ornamento invariante. Escher conseguiu chegar neles através do estudo sistemático e da experimentação. "Longe de ser um fato trivial ou intuitivo, esses grupos foram classificados, em 1891, pelo cristalógrafo russo I.S. Fedorov", esclarece o professor Sérgio Alves, do Departamento de Matemática do Instituto de Matemática e Estatística (IME), da Universidade de São Paulo, que, com freqüência, utiliza os desenhos do artista holandês em suas aulas de Geometria. "É notável que Escher, sem qualquer conhecimento prévio de matemática, tenha descoberto todas essas possibilidades. Quanto aos quatro movimentos, são os únicos possíveis de serem aplicados sobre um padrão plano de modo que o resultado obtido seja exatamente a figura original. Em termos matemáticos, são as únicas isometrias do plano. O estudo desses movimentos é chamado de Geometria das Transformações e suas leis governam a construção dos desenhos periódicos", explica.

Ciclos sem fim
A isometria da reflexão é brilhantemente utilizada por Escher na xilogravura Dia e Noite, de 1939, talvez o seu trabalho mais conhecido. Quando o espectador fixa o olhar nos pássaros brancos, consegue vê-los voando para a direita, em direção à noite que recobre uma pequena aldeia à beira de um rio. Mas se o olhar se detém sobre os pássaros negros, o que se vê são aves sobrevoando uma paisagem iluminada de sol, que é exatamente a imagem refletida da paisagem noturna. Aos poucos, Escher vai ousando mais, sobretudo quando inicia seus "ciclos", onde a divisão regular da superfície aparece misturada a formas tridimensionais, geralmente num circuito sem fim, onde uma fase se dilui na outra. A litogravura Répteis, de 1943, é um bom exemplo disso. Nela está reproduzido o próprio caderno de esboços de Escher, colocado em perspectiva sobre uma mesa.

Subitamente, um dos répteis ali esboçado, criado a partir de uma base hexagonal, sai do papel e dá início a um breve ciclo de vida tridimensional. Sobe por um livro de zoologia, passa por um esquadro até alcançar o alto de um dodecaedro. Ali, no ponto máximo de sua aventura, sopra fumaça pelas narinas em triunfo, antes de, resignado, retornar à bidimensionalidade do caderno de esboços.

Cada vez mais fascinado pelos paradoxos visuais, Escher acabou chegando na criação de mundos impossíveis. Sem dúvida, essa é uma das faces mais intrigantes de sua obra. Litogravuras como Belvedere, de 1958, e Queda de Água, de 1961, são bons exemplos dessa fase.

"Nesses trabalhos, o artista joga com as leis da perspectiva para produzir surpreendentes efeitos de ilusão de ótica", explica Sérgio Alves. Mas Escher tinha um propósito muito especial na hora de elaborar essas paisagens insólitas: fugir do óbvio. Ele sabia que uma situação impossível só causa impacto no espectador quando não é imediatamente perceptível. "Se você quer que algo impossível chame a atenção, primeiro você deve convencer a si mesmo e só então o seu público", dizia Escher. "O elemento impossível deve ficar tão disfarçado que um observador desatento nem o perceberá."

Eis porque há sempre um clima misterioso envolvendo suas imagens. Belvedere mostra uma construção de arquitetura absolutamente impossível no mundo real. Mas, num primeiro momento, o espectador não percebe nada de errado. Só a observação mais atenta das colunas do edifício, assim como a escada de mão, apoiada ao mesmo tempo no interior do prédio e numa parede externa, dá pistas da impossibilidade.


Truques óticos
Osegredo de tal construção aparece na própria gravura, no pedaço de papel sobre o chão quadriculado, onde há o desenho de um cubo convencional", explica Sérgio Alves. "Dependendo do ponto de vista, o poliedro pode ser interpretado como um cubo transparente visto de cima ou visto de baixo. Em ambos os casos, os dois pares de retas, que no desenho se interceptam nos pontos assinalados por círculos, não podem ser realizados no espaço tridimensional." O homenzinho sentado no banco segura nas mãos um modelo deste cubo inviável. Foi com base nessa estrutura que Escher desenhou Belvedere.

Nesta mesma linha de ilusões óticas está a litogravura Queda de Água. "Num primeiro olhar, o observador vê a água que passa por uma calha de tijolos cair e movimentar uma roda, para depois continuar o seu curso", descreve Sérgio Alves. "Mas numa observação mais cuidadosa descobre-se que a água corre continuamente para baixo e, ao mesmo tempo, afastando-se do espectador. De repente, o ponto mais afastado e mais baixo torna-se idêntico ao ponto mais próximo e mais alto, o que mantém o curso de água numa espécie de moto contínuo."

Amor aos poliedros
Cada vez mais assediado pelos matemáticos, Escher acabou muitas vezes se inspirando em suas novas descobertas. O segredo de Queda de Água, por exemplo, está na figura do tribar, uma construção geometricamente impossível criada pelo matemático R. Penrose, em 1958. Escher utilizou três dessas figuras ligadas entre si como base da litogravura. O mesmo aconteceu com as xilogravuras onde aparece a Faixa de Moebius, forma desenvolvida pelo matemático alemão Augustus Möbius (1790-1868), usada na demonstração das propriedades básicas da Topologia. A sugestão de introduzi-la em sua obra partiu de um matemático inglês, em 1960. Até então, Escher nunca tinha ouvido falar nela. A grande curiosidade desta fita é o fato de possuir "um lado só", o que imediatamente fascinou o artista holandês. Produziu a partir dela duas xilogravuras, Laço de Moebius I, de 1961, e Laço de Moebius II, de 1963. Neste segundo trabalho, Escher acrescentou nove formigas que aparentemente circulam por lados diferentes do laço.

Mas seguindo-as com o dedo, descobre-se que estão caminhando o tempo todo do mesmo lado. Escher foi atraído também pelo formato dos sólidos geométricos, em especial dos poliedros. Seu interesse nasceu a partir da observação das formas dos cristais, possivelmente influenciado por seu irmão, que era geólogo e autor de um manual sobre mineralogia e cristalografia. Realizou diversos trabalhos explorando as possibilidades dos poliedros, entre eles, a conhecida xilogravura Estrelas, de 1948. Maravilhado por suas formas, chegou a declarar seu amor por eles, dizendo que no caos da sociedade moderna "representam de maneira ímpar o anelo de harmonia e ordem do homem". Mas ressalvou: "Ao mesmo tempo nos assusta sua perfeição e nos faz sentirmos desvalidos. Os poliedros regulares têm um caráter absolutamente não humano. Não são invenções da mente humana, já que existiam como cristais na crosta terrestre muito antes do homem entrar em cena".

Fonte: http://galileu.globo.com/edic/88/conhecimento2.htm
Galeria: http://www.mcescher.com/

O homem que calculava

Conheça o divertido mundo do professor de matemática e escritor Malba Tahan

O escritor Malba Tahan vestido a caráter.

O que é, o que é? Ou melhor: quem é, quem é? Que escrevia histórias árabes, mas era brasileiro? Gostava de sapos e de geometria? Se você não sabe, a gente responde: é o Malba Tahan! Um professor de matemática e, também, escritor muito criativo, que adorava elaborar enigmas em sala de aula para iniciar suas explicações. Malba nasceu no Rio de janeiro, no dia 6 de maio de 1895 e seu verdadeiro nome era Júlio César de Mello e Souza.

O primeiro nome falso que ele adotou foi R.S.Slade para fingir que era um escritor de outro país e conseguir publicar uma história dele num jornal, uma vez que seus contos já haviam sido rejeitados pelo editor do mesmo jornal quando assinou seu nome verdadeiro. E deu certo! Por isso ele decidiu usar sempre um nome estrangeiro. Mais tarde, escolheu Malba Tahan, porque adorava escrever histórias árabes.

Suas histórias eram sobre aventuras misteriosas, com beduínos do deserto, xeques, vizires, magos, princesas e sultões. Seu livro mais famoso é O Homem que Calculava, que conta as aventuras de Beremís, um árabe que gostava de resolver os problemas da vida com soluções matemáticas.

Por mais incrível que pareça, ele não foi sempre um ótimo aluno em matemática. Só quando teve um professor de quem gostava é que começou a entender melhor a matéria. O que ele adorava mesmo, quando criança, era colecionar sapos - argh! - e escrever pequenas revistas que se chamavam Erre, com histórias, notícias e jogos.

O livro mais famoso de Tahan e a revista que fazia quando criança

Já adulto, quando se tornou professor e escritor, ele continuou a colecionar sapos, mas de louça. Já imaginou um professor que entra em sala de aula, se curva diante de um aluno e diz Salam Aleikum, que quer dizer "a paz esteja contigo", em árabe, e depois escrevia uma charada sobre sapos no quadro-negro para dar uma explicação matemática?

Os números e as propriedades numéricas eram para ele como seres vivos. Dizia haver números alegres e bem-humorados, frações tristes, multiplicações carrancudas e tabuadas sonolentas. Havia, para ele, algarismos arábicos com túnicas brancas e turbantes vermelhos, além das contas-de-faz-de-contas.

Essa é uma parte da história do professor Mello e Souza ou Malba Tahan, o "carioca das arábias", que misturava diversão com matemática. Se estivesse vivo, ele teria completado 110 anos em 2005.

Fonte: http://cienciahoje.uol.com.br/controlPanel/materia/view/4064

Matemática nas pinturas

O mais conhecido e famoso dos quadrados mágicos certamente é o quadrado 4x4 que se vê em
“A Melancolia”, famosa gravura de 1514, de Abrecht D¨urer

Jogo dos recipientes

Tente encher um recipiente com o número de litros solicitado.
Muito interessante.

http://www.somatematica.com.br/jogos/recipientes/

Sudoku no cubo mágico

Se esse passatempo lhe traz aflição imagine um sudoku nesse cubo... Deve doer os olhos.

ADO

Esse passatempo é da época do colégio. O objetivo é vc terminar de formar o quadrado. Quem formar mais quadrados vence.

Resta um

Regras:
1. As peças devem ser movidas na vertical ou na horizontal, de modo que uma sempre salte outra que lhe seja adjacente(como no jogo de damas), parando numa casa vazia imediatamente seguinte;
2. A peça que foi pulada deve ser retirada do tabuleiro;
3. Na mesma jogada pode acontecer uma sucessão de pulos, porém esse procedimento não é obriagatório e a jogada pode ser interrompida quando o jogador achar conveniente;
4. o jogo termina quando nenhuma peça disponível no tabuleiro puder seu pulada ou quando apenas restar uma.

Poesia Matemática

Millôr Fernandes

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

Texto extraído do livro "Tempo e Contratempo", Edições O Cruzeiro - Rio de Janeiro, 1954, pág. sem número, publicado com o pseudônimo de Vão Gogo.

O número de ouro

O Número de Ouro é um número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus ao mundo.
, que é o número .

Contruindo um círculo

.................. Mas com APENAS UMA RÉGUA.

-Fixe um ponto.
-Coloque a régua no ponto e trace do outo lado da régua.
- Faça isso infinita vezes e vc terá o círculo.

Hora do Rush

....................................Leve o carro vermelho até a saída.
Jogue on line: http://www.eslus.com/Gizmos/rushour/rushHour.html

Sugestão de presente

Um brinquedo que eu ganhei e que gosto muito é esse quebra-cabeça chamado Cilada. Não é tão simples quanto pode parecer.

Balança

O objetivo é descobrir quantos cubinhos se acrescenta para equilibrar a balança.

Os truques matemáticos dos sobrinhos do Pato Donald

Artigo do professor Luiz Barco, em que fala sobre o truque matemático do conjunto de cartelas cheias de números, cujo autor "adivinha" o número escolhido pelo adversário.


Por Luiz Barco

Nunca pensei que um dia me coubesse tarefa tão gostosa. Escrever um artigo destinado aos meus amigos de infância, não aos amigos comuns, mas especialmente àqueles que não tiveram a enfadonha necessidade de crescer, pois puderam continuar crianças como Peter Pan. Surprendi-os brincando com meus filhos e estavam do jeito que os conheci. Eu mesmo, já adulto, fiz um ar sério, mas com a desculpa de atender os meus filhos, brinquei com eles algumas vezes. São os sobrinhos do Pato Donald: Huguinho, Zezinho e Luisinho.

Recentemente, reencontrei o trio ao conversar com um velho amigo. Ele me contou ter visto no manual dos escoteiros mirins, estrelado pelos três patinhos, um conjunto de carteias cheias de números com uma curiosa propriedade matemática. Uma pessoa escolhe mentalmente um número contido nas cartelas sem o revelar ao parceiro. Em seguida, entrega-lhe todas as carteias em que o dito número aparece e desafia-o a descobrir o número escolhido.

Meu amigo recordava vagamente que basta somar determinados números das carteias escolhidas para descobrir o número pensado pelo outro. Ele queria saber se eu conseguiria refazer as cartelas. Antes que eu esboçasse qualquer resposta, ele acrescentou: "É que meu filho deve apresentar uma curiosidade matemática na feira de ciências do colégio onde estuda e eu não estou achando o manual".

Tratava-se de mais uma entre as inúmeras aplicações da binarização, ou seja, do sistema binário, de base 2. Como se trata de um sistema binário, temos de ter em mente as potências de 2. Assim, o 1 é o 2° (dois à potência zero), o 2 é o 2¹ (dois elevado ao expoente 1), o 4 é o 2², o oito, é 2³, etc. Vamos ficar por aqui e trabalhar com os números 1,2,4 e 8, escrevendo com eles todos os números inteiros que podem ser construídos como a soma de todos ou de alguns desses números que vão dar nome às cartelas:

• 1 é da carteia do próprio 1 e somente dela; • 2 é da carteia do próprio 2 e

somente dela; • 3 = 1 + 2, logo, deve aparecer na carteia do 1 e do 2; • 4 é da carteia do próprio 4 e somente dela; • 5 = 1 + 4, logo, deve aparecer nas carteias do 1 e do 4; e assim por diante, cada número pode ser escrito como uma simples soma de potências crescentes do 2, e deve aparecer em todas as cartelas das parcelas que entram na adição geradora do próprio número. Logo, o 6 aparece nas cartelas do 2 e do 4, pois • 6 = 2 + 4; • 7 = 1 + 2 + 4, logo, deve aparecer nas carteias de 1, 2 e 4; • 8 é potência de 2 e será conseqüentemente nome de carteia; • 9 = 1 + 8 e assim aparecerá nas carteias 1,8 etc.

Assim como com os número 1, 2, 4 e 8 podemos por simples adição chegar até 15, vamos listar os números nas cartelas:
cartela 1 1,3,5,7,9,11,13 e 15
cartela 2 2,3,6,7,10,11,14 e 15
cartela 4 4,5,6,7,12,13,14 e 15
cartela 8 8,9,10,11,12,13,14 e 15

Cada cartela terá em nosso primeiro exemplo oito números e vamos construí-las como uma tabela de duas linhas por quatro colunas, cuidando de no quadradinho superior à direita colocar a potência de 2 que lhe dá o nome. Podemos fazer em cartolina e recortar.

Pronto o brinquedo, você agora escolhe um número de 1 a 15 e não conta ao parceiro qual é; dá-lhe a carteia ou carteias onde o número escolhido aparece. Para adivinhar o número, o parceiro deve somar as potências de 2 que aparecem no canto superior direito das cartelas recebidas. Ficará mais interessante se tomarmos as potências 1, 2, 4, 8, 16 e 32.

Com elas podemos escrever de 1 até 63 e assim construir seis cartelas, cada uma com 32 números (4 linhas por 8 colunas), e desta forma começar uma nova carreira: a de adivinho. Se essa brincadeira estiver mesmo no manual dos escoteiros mirins, os patinhos que me perdoem ter revelado seu pequeno truque.

Jogar Ouri

O Ouri é um jogo pertencente à família dos jogos de contagem e captura. Pensado para duas pessoas é jogado num tabuleiro de 12 casas e com 48 pedras ou sementes. Pelas primeiras jogadas parece ser um jogo muito fácil, mas depressa percebemos que é um grande desafio! Tudo sobre o jogo em:
ouri.ccems.pt

Jogo on line
ouri.ccems.pt/jogo/Ouri2.htm

Números de Sam Loyd

Você vê que a matriz apresenta números 1/15 em ordem crescente, linha por linha. Dê um clique na matriz e eles serão desorganizados... 1. Nível Fácil Após embaralhar, tente colocá-los na ordem inicial: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. Nível Pesadelo Caso você queira ir direto para esta opção: embaralhe e tente colocar na seguinte ordem: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14 Durante muito tempo a criação deste problema foi atribuída a Sam Loyd (1841-1911), um americano charadista que, no final dos anos de 1870 propôs (com o nome 'Fifteen Puzzle') este enigma. De fato, foi proposto por ele, mas este desafio já existia (..) Enfim! Uma revista chegou a oferecer um prêmio de US$ 1.000,00 (imagine quanto não seria hoje esta quantia!?) para quem colocasse os números na seguinte ordem acima. Virou mania no mundo inteiro e até hoje NINGUÉM CONSEGUIU com essa segunda opção!! Você consegue? O desafio conseguirá ser resolvido no século XXI? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Passe de A para B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14 A B
Jogar on line

Hex

Aborrecem-te os jogos de tabuleiro? A ser assim, talvez convenha dares uma "vista d'olhos" a um jogo chamado HEX. É tão emocionante como os melhores jogos de computador e como exercício mental é muito superior.

O HEX joga-se num tabuleiro com a forma de losango composto por "casas" hexagonais como se mostra na figura seguinte.

O tabuleiro habitualmente utilizado tem dimensões 11 por 11 mas podem ser utilizados tabuleiros de menores ou maiores dimensões. Cada um dos jogadores possui dois lados opostos do tabuleiro.

Cada jogador tem um determinado número de fichas ( normalmente cada jogador tem 50 fichas), um deles jogará com as azuis e o outro com as vermelhas.

As regras são de uma simplicidade impressionante. Para determinar quem joga em primeiro lugar pode-se recorrer ao lançamento de uma moeda. Depois, os jogadores, alternadamente, vão colocando as suas fichas nas "casas" livres do tabuleiro. Ganha aquele que primeiro conseguir formar um caminho de fichas próprias que una os seus dois lados opostos, isto é, um caminho vermelho que una as duas margens vermelhas ou, um caminho azul que una as duas margens azuis. Aparentemente é fácil, no entanto, como em muitas outras situações, as aparências iludem.

O HEX é um jogo de profunda subtileza. Inventado por PIET HEIN, matemático, físico e poeta dinamarquês, o jogo apareceu pela primeira vez no jornal diário "Polytiken" de 26 de Dezembro de 1942, com o nome de "Polígono".

Durante a década de 50 do século passado, o jogo HEX converteu-se numa espécie de loucura em muitos departamentos de Matemática um pouco por todo o mundo. O número de jogadas é finito ( um máximo de 121 jogadas num tabuleiro 11 por 11); um caminho contínuo que vá de um lado ao lado oposto impede o adversário de ganhar. No Hex haverá sempre um vencedor, o jogo nunca termina em empate. Também se pode demonstrar que, se jogasse de forma óptima, o primeiro jogador ganharia sempre.

À primeira vista, o facto do primeiro jogador dever ganhar sempre, retira qualquer interesse ao jogo mas, o problema reside em descobrir a estratégia que o conduzirá à vitória. Sabe-se que o primeiro jogador deverá ganhar sempre mas não se sabe como conseguir a vitória. No filme " Uma Mente Brilhante " John Nash fica muito desapontado quando perde uma partida de um jogo chamado GO, que tinha iniciado e na qual ele pensava estar a seguir a estratégia correcta, o que lhe deveria garantir a vitória.

O tabuleiro 7 por 7 é maior tabuleiro para o qual se conhece a estratégia que dá a vitória ao primeiro jogador. Num tabuleiro maior o primeiro jogador sabe que, em teoria, deveria ganhar, mas não sabe como.

Para contrariar a vantagem (pelo menos teórica) do primeiro jogador, há quem admita uma regra opcional: quando efectua o movimento de abertura, o segundo jogador pode optar por trocar a ficha do adversário por uma das suas em vez de ocupar uma das "casas" vazias. Assim, ao efectuar a abertura do jogo o primeiro jogador terá que considerar a hipótese da sua peça ser substituída por uma do adversário. Terá que avaliar se deve colocar a sua primeira peça na posição que considera óptima correndo o risco de a ver substituída, ou se deve optar por colocar a sua primeira peça noutra posição menos vantajosa vendo o adversário ocupar a melhor posição mas ficando com a sua peça no tabuleiro.

Pontes - Estratégia básica para a vitória

As estratégias para aumentar a probabilidade de vencer no jogo HEX foram objecto de vários estudos, ocupando vários livros. Aqui deixarei apenas uma das mais básicas: as pontes.

No HEX não é necessário que uma determinada "casa" para que esta tenha um papel estratégico.

Na Figura A, vemos uma ponte em que duas "casas" não adjacentes ocupadas por fichas azuis estão separadas por duas "casas" intermédias (a tracejado azul). Enquanto as duas "casas" tracejadas não forem ocupadas por fichas vermelhas podemos considerar que as duas casas com fichas azuis encontram-se ligadas, uma vez que, se as vermelhas ocuparem uma das casas tracejadas, as azuis podem, na jogada seguinte, ocupar a outra, efectivando dessa forma a união.

Os jogadores de HEX tentam com frequência construir várias pontes ao longo do tabuleiro. No entanto, as pontes não são invencíveis. Uma ponte azul pode ser vencida se as vermelhas conseguirem ocupar uma das "casas" intermédias ao mesmo tempo que ameaçam o adversário com uma jogada que lhes dará a vitória noutro lugar. Isto não é muito fácil de conseguir portanto, o melhor é impedir que o adversário construa demasiadas pontes.

Na figura B são as azuis a jogar. Obviamente terão que ocupar a "casa" p porque, caso contrário as vermelhas ganham facilmente. No entanto, as vermelhas responderão jogando na casa q, continuando esta estratégia formar-se-ão dois caminhos paralelos, um azul e outro vermelho que acabará com a vitória das vermelhas.


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www.mazeworks.com/hex7/index.htm

Pérolas da matemática

Acho que essas pérolas já foram muito vistas, mas eu ainda raxo os bico delas.